Algebra di base e Analisi#

Sage sa svolgere diversi calcoli legati all’algebra di base ed all’analisi: per esempio, risoluzione di equazioni, calcolo differenziale ed integrale e trasformate di Laplace. Si veda la documentazione per le «Costruzioni di Sage» per ulteriori esempi.

Risoluzione di equazioni#

La funzione solve risolve le equazioni. Per usarla, bisogna anzitutto specificare alcune variabili; pertanto gli argomenti di solve sono un’equazione (od un sistema di equazioni), insieme con le variabili rispetto alle quali risolvere:

sage: x = var('x')
sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)
[x == -2, x == -1]

x = var('x')
solve(x^2 + 3*x + 2, x)
>>> from sage.all import *
>>> x = var('x')
>>> solve(x**Integer(2) + Integer(3)*x + Integer(2), x)
[x == -2, x == -1]

Si possono risolvere le equazioni rispetto ad una variabile in funzione delle altre:

sage: x, b, c = var('x b c')
sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]

x, b, c = var('x b c')
solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
>>> from sage.all import *
>>> x, b, c = var('x b c')
>>> solve([x**Integer(2) + b*x + c == Integer(0)],x)
[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]

Si può anche risolvere rispetto a diverse variabili:

sage: x, y = var('x, y')
sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
[[x == 5, y == 1]]

x, y = var('x, y')
solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
>>> from sage.all import *
>>> x, y = var('x, y')
>>> solve([x+y==Integer(6), x-y==Integer(4)], x, y)
[[x == 5, y == 1]]

Il seguente esempio dell’uso di Sage per risolvere un sistema di equazioni non lineari è stato fornito da Jason Grout: per prima cosa, si risolve il sistema simbolicamente:

sage: var('x y p q')
(x, y, p, q)
sage: eq1 = p+q==9
sage: eq2 = q*y+p*x==-6
sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3],
[p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]

var('x y p q')
eq1 = p+q==9
eq2 = q*y+p*x==-6
eq3 = q*y^2+p*x^2==24
solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
>>> from sage.all import *
>>> var('x y p q')
(x, y, p, q)
>>> eq1 = p+q==Integer(9)
>>> eq2 = q*y+p*x==-Integer(6)
>>> eq3 = q*y**Integer(2)+p*x**Integer(2)==Integer(24)
>>> solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3],
[p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]

Per una soluzione numerica, si può invece usare:

sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
 [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]

solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
[[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]
>>> from sage.all import *
>>> solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y, solution_dict=True)
>>> [[s[p].n(Integer(30)), s[q].n(Integer(30)), s[x].n(Integer(30)), s[y].n(Integer(30))] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
 [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]

(La funzione n scrive un’approssimazione numerica, e l’argomento è il numero di bit di precisione.)

Differenziazione, Integrazione, etc.#

Sage è in grado di differenziare ed integrare molte funzioni. Per esempio, per differenziare \(\sin(u)\) rispetto a \(u\), si procede come nelle righe seguenti:

sage: u = var('u')
sage: diff(sin(u), u)
cos(u)

u = var('u')
diff(sin(u), u)
>>> from sage.all import *
>>> u = var('u')
>>> diff(sin(u), u)
cos(u)

Per calcolare la derivata quarta di \(\sin(x^2)\):

sage: diff(sin(x^2), x, 4)
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)

diff(sin(x^2), x, 4)
>>> from sage.all import *
>>> diff(sin(x**Integer(2)), x, Integer(4))
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)

Per calcolare le derivate parziali di \(x^2+17y^2\) rispetto a x e y, rispettivamente:

sage: x, y = var('x,y')
sage: f = x^2 + 17*y^2
sage: f.diff(x)
2*x
sage: f.diff(y)
34*y

x, y = var('x,y')
f = x^2 + 17*y^2
f.diff(x)
f.diff(y)
>>> from sage.all import *
>>> x, y = var('x,y')
>>> f = x**Integer(2) + Integer(17)*y**Integer(2)
>>> f.diff(x)
2*x
>>> f.diff(y)
34*y

Passiamo agli integrali, sia indefiniti che definiti. Per calcolare \(\int x\sin(x^2)\, dx\) e \(\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\, dx\)

sage: integral(x*sin(x^2), x)
-1/2*cos(x^2)
sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
1/2*log(2)

integral(x*sin(x^2), x)
integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
>>> from sage.all import *
>>> integral(x*sin(x**Integer(2)), x)
-1/2*cos(x^2)
>>> integral(x/(x**Integer(2)+Integer(1)), x, Integer(0), Integer(1))
1/2*log(2)

Per calcolare la decomposizione in frazioni parziali di \(\frac{1}{x^2-1}\):

sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
sage: f.partial_fraction(x)
-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

f = 1/((1+x)*(x-1))
f.partial_fraction(x)
>>> from sage.all import *
>>> f = Integer(1)/((Integer(1)+x)*(x-Integer(1)))
>>> f.partial_fraction(x)
-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

Risoluzione di Equazioni Differenziali#

Si può usare Sage per studiare le equazioni differenziali ordinarie. Per risolvere l’equazione \(x'+x-1=0\):

sage: t = var('t')    # definisce una variabile t
sage: x = function('x')(t)   # definisce x come funzione di quella variabile
sage: DE = diff(x,t) + x - 1
sage: desolve(DE, [x,t])
(_C + e^t)*e^(-t)

t = var('t')    # definisce una variabile t
x = function('x')(t)   # definisce x come funzione di quella variabile
DE = diff(x,t) + x - 1
desolve(DE, [x,t])
>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')    # definisce una variabile t
>>> x = function('x')(t)   # definisce x come funzione di quella variabile
>>> DE = diff(x,t) + x - Integer(1)
>>> desolve(DE, [x,t])
(_C + e^t)*e^(-t)

Questo metodo utilizza l’interfaccia di Sage per Maxima [Max], e così il suo output può essere leggermente diverso dagli altri output di Sage. In questo caso, risulta che la soluzione generale dell’equazione differenziale è \(x(t) = e^{-t}(e^{t}+c)\).

Si può anche calcolare la trasformata di Laplace; la trasformata di Laplace di \(t^2e^t -\sin(t)\) è calcolata come segue:

sage: s = var("s")
sage: t = var("t")
sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)
sage: f.laplace(t,s)
-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3

s = var("s")
t = var("t")
f = t^2*exp(t) - sin(t)
f.laplace(t,s)
>>> from sage.all import *
>>> s = var("s")
>>> t = var("t")
>>> f = t**Integer(2)*exp(t) - sin(t)
>>> f.laplace(t,s)
-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3

Il successivo è un esempio più articolato. Lo scostamento dall’equilibrio (rispettivamente) per due molle accoppiate fissate ad un muro a sinistra

|------\/\/\/\/\---|massa1|----\/\/\/\/\/----|massa2|
         molla1                  molla2

è modellizzato dal sistema di equazioni differenziali del secondo ordine

\[m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0 m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0,\]

dove \(m_{i}\) è la massa dell’oggetto i, \(x_{i}\) è lo scostamento dall’equilibrio della massa i, e \(k_{i}\) è la costante elastica della molla i.

Esempio: Usare Sage per risolvere il problema precedente con \(m_{1}=2\), \(m_{2}=1\), \(k_{1}=4\), \(k_{2}=2\), \(x_{1}(0)=3\), \(x_{1}'(0)=0\), \(x_{2}(0)=3\), \(x_{2}'(0)=0\).

Soluzione: Calcolare la trasformata di Laplace della prima equazione (con la notazione \(x=x_{1}\), \(y=x_{2}\):

sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()
>>> from sage.all import *
>>> de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
>>> lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

Questo è di difficile lettura, ma dice che

\[-2x'(0) + 2s^2*X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0\]

(dove la trasformata di Laplace di una funzione in minuscolo come \(x(t)\) è la funzione in maiuscolo \(X(s)\)). Calcolare la trasformata di Laplace della seconda equazione:

sage: t,s = SR.var('t,s')
sage: x = function('x')
sage: y = function('y')
sage: f = 2*x(t).diff(t,2) + 6*x(t) - 2*y(t)
sage: f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

t,s = SR.var('t,s')
x = function('x')
y = function('y')
f = 2*x(t).diff(t,2) + 6*x(t) - 2*y(t)
f.laplace(t,s)
>>> from sage.all import *
>>> t,s = SR.var('t,s')
>>> x = function('x')
>>> y = function('y')
>>> f = Integer(2)*x(t).diff(t,Integer(2)) + Integer(6)*x(t) - Integer(2)*y(t)
>>> f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

che significa

\[-Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0.\]

Imporre le condizioni iniziali per \(x(0)\), \(x'(0)\), \(y(0)\), e \(y'(0)\), e risolvere le due equazioni risultanti:

sage: var('s X Y')
(s, X, Y)
sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
sage: solve(eqns, X,Y)
[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]

var('s X Y')
eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
solve(eqns, X,Y)
>>> from sage.all import *
>>> var('s X Y')
(s, X, Y)
>>> eqns = [(Integer(2)*s**Integer(2)+Integer(6))*X-Integer(2)*Y == Integer(6)*s, -Integer(2)*X +(s**Integer(2)+Integer(2))*Y == Integer(3)*s]
>>> solve(eqns, X,Y)
[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]

Ora si calcola la trasformata inversa di Laplace per ottenere la risposta:

sage: var('s t')
(s, t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
-cos(2*t) + 4*cos(t)

var('s t')
inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
>>> from sage.all import *
>>> var('s t')
(s, t)
>>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(9)*s)/(s**Integer(4) + Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
>>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(15)*s)/(s**Integer(4) + Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)
-cos(2*t) + 4*cos(t)

Pertanto, la soluzione è

\[x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t).\]

Essa può essere disegnata in forma parametrica usando

sage: t = var('t')
sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),
....: (0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9))
sage: show(P)

t = var('t')
P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),
(0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9))
show(P)
>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')
>>> P = parametric_plot((cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t) ),
... (Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.9')))
>>> show(P)

Le singole componenti possono essere tracciate usando:

sage: t = var('t')
sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.3))
sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1 + p2)

t = var('t')
p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.3))
p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.6))
show(p1 + p2)
>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')
>>> p1 = plot(cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), Integer(0), Integer(2)*pi, rgbcolor=hue(RealNumber('0.3')))
>>> p2 = plot(Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t), Integer(0), Integer(2)*pi, rgbcolor=hue(RealNumber('0.6')))
>>> show(p1 + p2)

BIBLIOGRAFIA: Nagle, Saff, Snider, Fundamentals of Differential Equations, 6th ed, Addison-Wesley, 2004. (si veda § 5.5).

Metodo di Eulero per i sistemi di equazioni differenziali#

Nel prossimo esempio, si illustrerà il metodo di Eulero per le ODE di primo e secondo ordine. Per prima cosa ricordiamo l’idea di base per le equazioni di primo ordine. Dato un problema di Cauchy della forma

\[y'=f(x,y) y(a)=c\]

si vuole trovare il valore approssimato della soluzione a \(x=b\) con \(b>a\).

Ricordando dalla definizione di derivata che

\[y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},\]

dove \(h>0\) è dato e piccolo. Questo e la DE insieme danno give \(f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}\). Ora si risolve per \(y(x+h)\):

\[y(x+h) \approx y(x) + h*f(x,y(x)).\]

Se chiamiamo \(h f(x,y(x))\) il «termine di correzione» (per mancanza di un termine migliore), \(y(x)\) il «vecchio valore di y», e \(y(x+h)\) il «nuovo valore di y», allora questa approssimazione può essere espressa come

\[y_{new} \approx y_{old} + h*f(x,y_{old}).\]

Se si spezza l’intervallo da a a b in n intervalli, dimodoché \(h=\frac{b-a}{n}\), allora si possono registrare le informazioni per questo metodo in una tabella.

\(x\)

\(y\)

\(hf(x,y)\)

\(a\)

\(c\)

\(hf(a,c)\)

\(a+h\)

\(c+hf(a,c)\)

…

\(a+2h\)

…

…

\(b=a+nh\)

???

…

L’obiettivo è riempire tutti gli spazi vuoti della tavella, una riga alla volta, finché si arriva al valore ???, che è il metodo di approssimazione di Eulero per \(y(b)\).

L’idea per sistemi di ODE è simile.

Esempio: Si approssimi numericamente \(z(t)\) a \(t=1\) usando 4 passi del metodo di Eulero, dove \(z''+tz'+z=0\), \(z(0)=1\), \(z'(0)=0\).

Si deve ridurre l’ODE di secondo ordine ad un sistema di due equazioni del primo ordine (usando \(x=z\), \(y=z'\)) ed applicare il metodo di Eulero:

sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
f = y; g = -x - y * t
eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
>>> from sage.all import *
>>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()
>>> f = y; g = -x - y * t
>>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4), Integer(1))
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Pertanto, \(z(1)\approx 0.75\).

Si possono anche tracciare i punti \((x,y)\) per ottenere un grafico approssimato della curva. La funzione eulers_method_2x2_plot svolge questa funzione; per usarla, bisogna definire le funzioni f e g che prendono on argomento con tre coordinate: (t, x, y).

sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)

f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)
>>> from sage.all import *
>>> f = lambda z: z[Integer(2)]        # f(t,x,y) = y
>>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)])  # g(t,x,y) = -sin(x)
>>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber('0.0'), RealNumber('0.75'), RealNumber('0.0'), RealNumber('0.1'), RealNumber('1.0'))

A questo punto, P ha in memoria due grafici: P[0], il grafico di x vs. t, e P[1], il grafico di y vs. t. Si possono tracciare entrambi come mostrato qui in seguito:

sage: show(P[0] + P[1])

show(P[0] + P[1])
>>> from sage.all import *
>>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])

Funzioni speciali#

Sono implementati diversi polinomi ortogonali e funzioni speciali, usando sia PARI [GAP] che Maxima [Max]. Essi sono documentati nelle sezioni apposite («Polinomi ortogonali» e «Funzioni speciali», rispettivamente) del manuale di Sage.

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.565159103992485
sage: bessel_I(2,1.1).n()
0.167089499251049

x = polygen(QQ, 'x')
chebyshev_U(2,x)
bessel_I(1,1).n(250)
bessel_I(1,1).n()
bessel_I(2,1.1).n()
>>> from sage.all import *
>>> x = polygen(QQ, 'x')
>>> chebyshev_U(Integer(2),x)
4*x^2 - 1
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()
0.565159103992485
>>> bessel_I(Integer(2),RealNumber('1.1')).n()
0.167089499251049

A questo punto, Sage ha soltanto incorporato queste funzioni per l’uso numerico. Per l’uso simbolico, si usi direttamente l’interfaccia di Maxima, come nell’esempio seguente:

sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
maxima.eval("diff(f,w)")
>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
>>> maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'
[GAP]

(en) The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.11; 2021, https://www.gap-system.org

[Max] (1,2)

(en) Maxima, Version 5.45; 2021, http://maxima.sf.net/